Teorema de Arquimedes

Um corpo mergulhado num líquido recebe forças do líquido em toda sua superfície, conforme a figura.

As componentes horizontais das forças se equilibram e as componentes verticais fornecem uma resultante para cima. Vamos considerar um corpo cilíndrico totalmente submerso num líquido em equilíbrio, conforme mostra a figura.

O líquido exerce pressão em todos os pontos do cilindro.

Sejam F1 a força que o líquido exerce em cima do cilindro de área A₁ e F2a força que o líquido exerce embaixo do cilindro de área A₂.
Como A₁ = A₂ e P₂ > P₁ (a pressão aumenta com a profundidade), temos:
p = F/A è p1 = F1/A1 è p2 = F2/A2F2 > F1
A diferença das intensidades das forças F1 e F2 é a intensidade da força de empuxoE.

E = F2 – F1

Todo corpo imerso em um fluido recebe uma força vertical para cima chamada empuxo, de intensidade igual à intensidade de peso do fluido deslocado. Sejam:
u_c  è  massa específica do corpo que será imerso.
m_c  è massa do corpo
V_c  è volume do corpo
P_c  è peso do corpo
u_L è massa específica do líquido
m_L  è massa do líquido deslocado
V_L  è volume do líquido deslocado
P_L  è peso do líquido deslocado

Como u_L = m_L/V_L è u_L . V_L = m_L

E = P_L = m_L . g è E = P_L = u_L . V_L . g

1^o Caso
Vamos mergulhar num líquido um corpo menos denso que o líquido. Ele vai flutuar com uma parte submersa.

Um bloco de madeira, cuja massa específica é de
0,6 g/cm³ é colocado num recipiente contendo água de massa específica 1,0 g/cm³ num local onde g = 10 m/s². Calcule a razão entre o volume submerso e o volume total do bloco.

Resolução
u_C = 0,6 g/cm³
u_L = 1,0 g/cm³
g = 10 m/s²

E = Pc

u_L . V_L . g = m_c . g

u_L . V_L = u_c . V_c

V_L / V_c = u_c / u_L = 0,6/1,0

V_L / V_c = 3/5

2^o Caso
Vamos mergulhar um corpo de mesma densidade que o líquido. Ele ficará totalmente submerso, numa situação de equilíbrio indiferente. Uma esfera maciça de raio 5 cm está totalmente submersa, sem tocar o fundo do recipiente em equilíbrio num líquido de massa específica 2 g/cm³, num local onde g = 10 m/s². Calcule:
a) a massa específica do material da esfera;
b) a intensidade do empuxo recebido pela esfera.
Resolução

r = 5 cm = 5 . 10^-2 m

u_L = 2g/cm³ = 2 . 10³ kg/m³

g = 10m/s²

V_L = V_c = V

U = m/V è m = u.V

a) A intensidade do empuxo que a esfera recebe é igual à intensidade do seu peso (equilíbrio):
E = P_C

m_L · V_L · g= m_c · g è m_L · V_L = m_c
u_L . V = u_c . V è u_c = 2g/cm³

b) V_c = 4 π /3· r³
V_c = 4 π /3· (5.10^-2)³
V_c = 5,23 · 10^–4 m³
V_L = V_c
E = u_L · V_L · g
E = 2 ·10³ · 5,23 · 10^–4 · 10
E = 10,46 Newton
3^o Caso
Vamos mergulhar um corpo mais denso do que o líquido. Ele ficará em contato com o fundo do recipiente. Uma esfera de massa 10 kg e volume 2.000 cm³ está submersa, como mostra a figura, num líquido de massa específica 2 g/cm³, num local onde g = 10 m/s². Calcule:

a) a intensidade do empuxo recebido pela esfera;
b) a intensidade da força normal entre a esfera e o fundo do recipiente.

m_C = 10kg

V_C = 2000 cm³ = 2.10^-3 m3

u_L = 2g/cm³ = 2.10³ kg/m³

g = 10m/s²

a) Corpo totalmente submerso è V_c = V_L
E = u_L · V_L · g = 2 ·10³ · 2 ·10^–3 · 10 
E = 40 Newton
b) E + N = P_c
40 + N = m_c · g
N = 10 ·10 – 40
N = 60 Newton

2. Peso Aparente

Vamos medir a intensidade da força peso P de um corpo utilizando um dinamômetro:

Com o corpo em equilíbrio, temos: P_c = T. Neste caso, com o objeto no vácuo o dinamômetro indica o valor da força peso do objeto. Contudo, quando este processo de medição é realizado com o corpo imerso num fluido (gás ou líquido), o corpo fica sujeito a uma força de empuxo , aplicada pelo fluido.

 

Assim, a intensidade da força T, que é medida pelo dinamômetro, é: T = P_c – E    (na situação de equilíbrio)
Esse valor é chamado de peso aparente:

P_ap = P_c - E

Exemplo 4
Num local onde g = 10 m/s², verifica-se que o peso de uma esfera no ar é de 15 N e, totalmente mergulhado na água, seu peso aparente é de 10 N. Se a massa específica da água é de 1 g/cm³, calcule a massa específica da esfera.
Resolução
g = 10 m/s²
P_c = 15 N
P_ap = 10 N
u_L = 1 g/cm³ = 10³ Kg/m³
Como a esfera é totalmente mergulhada na água, o seu volume é igual ao volume de líquido deslocado.

V_c = V_L

P_c – P_ap = u_L · V_L · g
15 – 10 = 10³ · V_c · 10
V_c = 5/10⁴ = 5 ·10^–4 m³
P_c = m_c · g
15 = m_c · 10
m_c = 1,5 Kg
u_c = m_c / V_c = 1,5/5.10^-4 = 0,3.10⁴ kg/m³u_c = 3.10³ kg/m³ = 3g/cm³

1) Um cubo de borracha de massa 100 g está flutuando em água com 1/3 de seu volume submerso. Sabendo-se que a densidade da água é de 1g/cm3 e tomando-se como aceleração da gravidade g = 10 m/s2. Qual é o volume do cubo de borracha?

E = PC

u_L.V_L.g = m_C.g

u_L.V_c/3.g = m_C.g

1.V_c/3 = 100

V_c = 300cm³

1m³ = 1m.1m.1m  è  1m³ = 100cm.100cm.100cm = 1 000 000cm³

1m³ ààààààà 1 000 000cm³

xm³ ààààààà 300cm³

1 000 000x = 300

x = 0,0003m³ = 3.10^-4m³

2) Quando um corpo de 3,0 kg está completamente imerso em água, cuja densidade é d = 1,0 g/cm3, apoiado sobre uma balança ela marca 20 N. Calcule o volume desse corpo.

Atenção para a densidade da água que está sendo oferecida em g/cm³. Ela deverá ser transformada em kg/cm³, basta dividir por 1000. Atenção também para o peso do corpo dado em baixo da água que é igual a 20 Newtons, já a força normal do corpo será a mesma de quando o corpo estava fora da água, massa vezes gravidade. Perceba que elas não se igualam!

PC = E + N

P_C = u_L.V_L.g + m_C.g

20 = 0,001.V_L.10 + 3.10

20 = 0,01.V_L + 30

20-30 = 0,01.V_L

V_L = -10/0,01

V_L = -1000cm³ / 1 000 000 = 10^-3m³

3) A figura a seguir mostra uma caixa cúbica de aresta a = 20 cm e massa M = 10 kg, imersa em água, sendo mantida em equilíbrio por um fio muito leve preso ao teto. Determine a tração no fio, em newtons.

Observe que na próxima figura o peso aparente, representado pela força de tração no fio está substituindo a força normal. Teremos a fórmula è Pap = Pc - E

0,2m . 0,2m . 0,2m = 0,008m³

O enunciado não deu, mas a densidade da água é 10³kg/m³

Pap = Pc – E

Pap = m_C.g – u_L.V_L.g

Pap = 10.10 – 10³.0,008.10

Pap = 100 – 80

Pap = 20 Newton

4) Um bloco de madeira de volume V = 60 cm3, totalmente submerso, está atado ao fundo de um recipiente cheio de água por meio de um fio de massa desprezível. O fio é cortado e o bloco emerge na superfície com 1/4 de seu volume fora da água. Sendo g = 10 m/s2 a aceleração da gravidade e D = 1 g/cm3 a massa específica da água, calcule

a) a massa específica do bloco.

b) a tração no fio, antes de ser cortado.

V_L = 3Vb/4 = 3.60/4 = 45cm³

E = PC

u_L.V_L.g = m_C.g

1.45 = u_C.V_C

45 = u_C.60

u_C = 45/60 = 0,75 g/cm³

Atentando que as densidades em g/cm³ transformadas para kg/m³ multiplica-se o valor por 10³ e cm³ multiplica-se o valor por 10^-6 pois

1g/cm³ = 0,001kg/0,000001m³ = 1kg/10^-3m³ = 10³kg/m³

e

1cm³ = 0,01m. 0,01m. 0,01m = 0,000001m³ = 10^-6m³

Para o equilíbrio do bloco, temos:

E = P + T

μL VB g = μB.VB.g + T

T = μL.VB.g - μB.VB.g

T = (μL – μB).VB.g

T = (1,0 – 0,75).10³.60.10^-6.10 (N)

T = 1,5.10^-1N

T = 0,15N

5) Um bloco de alumínio, de massa igual a 2,0kg, está pendurado por uma corda de massa desprezível e tem metade do seu volume mergulhado em um recipiente com água. A tensão na corda é igual a 12N. Se acrescentarmos água ao recipiente, de modo que o bloco fique completamente mergulhado, o valor da tensão na corda será (use o valor da aceleração da gravidade, g = 10m/s2):

a) 1 N. b) 2 N. c) 3 N. d) 4 N. e) 5 N.

No primeiro caso o corpo está com a metade do seu volume dentro da água

T = Pc – E

12 = 2.10 – E

12 = 20 – (u_C.V_C/2).g

8/5 = u_C.V_C

No segundo caso o corpo está totalmente dentro da água

T = Pc – E

T = 2.10 – E

T = 20 – (u_C.V_C).g

u_C.V_C = (20 – T)/10

substituindo uma equação na outra teremos

8/5 = (20 – T)/10

80 = 100 – 5T

T = 4 Newton        resposta letra D

6) Um pedaço de madeira, de densidade 600 kg/m3, possuindo massa de 12000 kg, flutua na água do lago de densidade 1000 kg/m3. Determine o volume da parte emersa desse pedaço de madeira.

Pc = E

m.g = u_C.V_C.g

12000 = 1000.V_C

V_C = 12m³

600kg/1m³     è     12000kg/xm³

600x = 12000

x = 20m³

20m³ - 12m³ = 8m³ emerso da Madeira na água.

7) Um copo cilíndrico, vazio, flutua em água, com metade de sua altura submersa, como mostra a fig. 1. Um pequeno objeto, de 1,0N de peso, é posto dentro do copo, com cuidado para que não entre água no copo. Restabelecido o equilíbrio hidrostático, verifica-se que o copo continua a flutuar, mas com 3/4 de sua altura submersos, como mostra a fig. 2.Calcule o peso do copo.

No primeiro caso temos

P_C = E

P_C = u_C.V_C/2 . g

2P_C/u_C.g = V_C

No segundo caso temos

P_C = E

P_C + 1 = u_C.V_C3/4 . g

V_C = 4.(P_C + 1)/3.g.u_C

Igualando as duas equações teremos

2P_C/u_C.g = 4P_C+4/g.u_C.3

6P_C = 4P_C + 4

2P_C = 4

P_C = 2 Newton é o peso do copo

15) Uma caixa com forma de paralelepípedo retângulo, de dimensões 160cm, 60cm e 20cm, flutua em água de massa específica 1g/cm3. Ivo observa que seu irmão, ao entrar na caixa, faz com que ela afunde mais 5cm abaixo da superfície livre da água. Após alguns cálculos, Ivo pode afirmar que a massa de seu irmão é de:

1,6m.0,6m.0,2m = 0,192 m³

Mas como a caixa já está na água, existe uma parte dela, uma altura h, que já está submersa

1,6m.0,6m.hm = 0,96.h m³

a densidade da água g/cm³ transformada para kg/m³

1 g/cm³ = 0,001kg/0,000001m³ = 1kg/0,001m³ = 1kg/10^-3m³ = 10³kg/m³

Primeiro caso com caixa vazia

E = P_C

u_L.0,96.h.g = mc.g

1000.0,96.h =  mc

mc = 960h

No segundo caso com o irmão dentro da caixa

E = Pc + Pi

u_L.V_L.g = m_C.g + mi.g

1000.0,96.(h+0,05) = m_C + mi

960h + 48 = 960h + mi

mi = 48Kg